Цель исследования

Построить и исследовать математическую модель задачи преследования, позволяющую определить стратегию гарантированного перехвата цели.

Рассматривается ситуация: в условиях тумана катер береговой охраны преследует лодку нарушителей. В момент кратковременного улучшения видимости лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км, после чего вновь скрывается и продолжает движение по прямой в неизвестном направлении. Скорость катера превышает скорость лодки в \(n\) раз. Необходимо определить траекторию катера, обеспечивающую встречу.

Задачи работы

1. Выполнить аналитический вывод дифференциальной модели движения при условии превышения скорости в \(n\) раз.
2. Построить траектории катера и лодки для двух вариантов начальных условий.
3. По результатам моделирования определить точку перехвата.

Исходные обозначения

Положим начальный момент времени \(t_0 = 0\).

В момент обнаружения:

• лодка расположена в начале координат: \(X_0 = 0\);
• катер удалён на расстояние \(k\).

Для анализа переходим к полярной системе координат:

• полюс совпадает с положением лодки;
• полярная ось направлена через исходное положение катера.

Определение начального радиуса манёвра

Пусть через некоторое время катер и лодка окажутся на одинаковом расстоянии \(x\) от полюса.

Из равенства времён движения получаем два возможных решения:

• case = plus \[ x_1 = \frac{k}{n+1}, \quad \theta_0 = 0 \]

• case = minus \[ x_2 = \frac{k}{n-1}, \quad \theta_0 = -\pi \]

Эти значения определяют момент перехода катера к спиральному движению.

Формирование системы уравнений

Разложим скорость катера на компоненты:

• радиальная: \(\frac{dr}{dt}\)
• тангенциальная: \(r\frac{d\theta}{dt}\)

Так как катер должен удаляться от полюса с той же радиальной скоростью, что и лодка:

\[ \frac{dr}{dt} = \upsilon \]

Полная скорость катера равна \(n\upsilon\), следовательно:

\[ r\frac{d\theta}{dt} = \upsilon\sqrt{n^2 - 1} \]

Исключая время, получаем уравнение траектории:

\[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{r}{\sqrt{n^2 - 1}} \]

Решение этого уравнения описывает логарифмическую спираль.

Параметры расчёта

Используем:

• \(k = 20\) км,
• \(n = 5\).

Цель моделирования — построить траектории и определить точку пересечения.

Базовый режим: case = plus

Анализ

• катер движется по логарифмической спирали;
• радиус \(r\) возрастает экспоненциально по углу \(\theta\);
• лодка движется по лучу, соответствующему прямой в декартовой системе;
• наблюдается пересечение траекторий, соответствующее моменту перехвата.

Базовый режим: case = minus

Анализ

• начальный радиус больше;
• форма спирали сохраняется;
• траектория смещена наружу относительно предыдущего случая;
• качественная динамика остаётся неизменной.

Влияние параметра \(n\)

Из уравнения

\[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{r}{\sqrt{n^2 - 1}} \]

следует:

• при меньших \(n\) радиус увеличивается быстрее;
• при росте \(n\) коэффициент уменьшается;
• спираль становится более «растянутой» по углу.

Анализ относительного масштаба

Введём показатель

\[ \text{scale\_ratio} = \frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})} \]

Интерпретация

• при малых \(n\) значение существенно превышает 1;
• при увеличении \(n\) показатель снижается;
• при больших \(n\) масштабы траекторий сближаются.

Оценка вычислительной сложности

Время расчёта:

• порядка \(6 \times 10^{-4}\) сек;
• зависимость от \(n\) практически отсутствует;
• небольшие вариации связаны с особенностями численного метода.

Основные результаты

1. Траектория катера описывается логарифмической спиралью.
2. Параметр \(n\) определяет интенсивность радиального роста.
3. Начальные условия влияют на масштаб траектории, но не изменяют её тип.
4. Численное решение демонстрирует устойчивость и низкие вычислительные затраты.

Модель корректно отражает структуру аналитического решения и подтверждается результатами вычислительных экспериментов.