Лабораторная работа № 2
2026-02-22
Построить и исследовать математическую модель задачи преследования, позволяющую определить стратегию гарантированного перехвата цели.
Рассматривается ситуация: в условиях тумана катер береговой охраны преследует лодку нарушителей. В момент кратковременного улучшения видимости лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км, после чего вновь скрывается и продолжает движение по прямой в неизвестном направлении. Скорость катера превышает скорость лодки в \(n\) раз. Необходимо определить траекторию катера, обеспечивающую встречу.
Положим начальный момент времени \(t_0 = 0\).
В момент обнаружения:
Для анализа переходим к полярной системе координат:
Пусть через некоторое время катер и лодка окажутся на одинаковом расстоянии \(x\) от полюса.
Из равенства времён движения получаем два возможных решения:
case = plus \[ x_1 = \frac{k}{n+1}, \quad \theta_0 = 0 \]
case = minus \[ x_2 = \frac{k}{n-1}, \quad \theta_0 = -\pi \]
Эти значения определяют момент перехода катера к спиральному движению.
Разложим скорость катера на компоненты:
Так как катер должен удаляться от полюса с той же радиальной скоростью, что и лодка:
\[ \frac{dr}{dt} = \upsilon \]
Полная скорость катера равна \(n\upsilon\), следовательно:
\[ r\frac{d\theta}{dt} = \upsilon\sqrt{n^2 - 1} \]
Исключая время, получаем уравнение траектории:
\[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{r}{\sqrt{n^2 - 1}} \]
Решение этого уравнения описывает логарифмическую спираль.
Используем:
Цель моделирования — построить траектории и определить точку пересечения.
Из уравнения
\[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{r}{\sqrt{n^2 - 1}} \]
следует:
Введём показатель
\[ \text{scale\_ratio} = \frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})} \]
Время расчёта:
Модель корректно отражает структуру аналитического решения и подтверждается результатами вычислительных экспериментов.